miércoles, 8 de enero de 2014

La Aguja de Buffon

Una manera que conocemos para calcular el valor de es trazando un círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. Sin embargo, desde hace cientos de años, los matemáticos han desarrollado otras maneras para llegar al número .

 "La Aguja de Buffon"
Este experimento propuesto por el Conde de Buffon en 1777 consiste en dejar caer una aguja sobre una hoja rayada y anotar las veces que la aguja cruza alguna de las rayas. Después de lanzar la aguja muchísimas veces comprobó que su experimento estaba íntimamente relacionado con el número . Para obtener un número muy parecido a , hay que dejar caer la aguja muchísimas veces sobre la hoja, multiplicar esta cantidad por dos y dividir el resultado entre el número de veces que la aguja cruzó alguna de las rayas.
Con el llamado "problema de la aguja de Buffon", (siglo XVIII ), nace la teoría de las probabilidades geométricas desarrollada poco después por Laplace » en su gran tratado "Teoría analítica de las probabilidades" (1812).

Realizamos el experimento

Te invitamos a repetir el experimento. Necesitamos un palillo y una hoja blanca. En realidad no necesitamos la hoja entera, sólo la mitad. Para poder cortar la hoja por la mitad hay que doblarla de manera que la orilla AB quede exactamente sobre la orilla CD, el punto A sobre el C y el punto B sobre el D; así:
Marca muy bien el doblez y corta la hoja. Es importante que lo hagas con cuidado para que los dobleces que haremos luego no queden chuecos.
Ahora sí, toma tu mitad de hoja y… a doblar. Vamos a marcar siete dobleces en la hoja. Empieza por doblar por la mitad. Recuerda que lo puedes hacer procurando que la orilla l1 coincida con la l2 . Este doblez nos genera una nueva línea a la que llamaremos l3 .
Ahora, desdobla y vuelve a doblar de manera que las orillas l1 y l2 queden sobre la l3.
Deja la hoja doblada y, otra vez, haz que ambas orillas coincidan con la línea de en medio. Recuerda marcar con cuidado los dobleces. Si desdoblas la hoja verás que ya habrás trazado los siete dobleces.
Lo que hicimos con todo este doblar fue trazar en la hoja líneas paralelas entre sí. Para que las puedas ver mejor, puedes remarcar las líneas con una regla y un lápiz . Ya que sacaste la regla, fíjate que la distancia entre las líneas siempre es la misma.
Corta el palillo de manera que su longitud sea exactamente igual a la distancia entre las líneas. Es importante que lo cortes de este tamaño, de lo contrario no te va a salir el experimento. Listo, ya podemos empezar…
La siguiente parte de la actividad simplemente consiste en dejar caer el palillo sobre la hoja muchas veces. Cada vez que lanzamos el palillo puede ocurrir una de dos cosas: que cruce alguna de las líneas o que no cruce ninguna de las líneas. ¿Podrías decir por qué el palillo no podría cruzar dos líneas al mismo tiempo?
Número de lanzamientos N:
Número de cruces N':
Cada vez que lances el palillo anota una rayita en la casilla marcada como Número de lanzamientos ( N ) y cada vez que el palillo cruce una de las líneas, anota una rayita en la casilla Número de cruces ( N' ) . Por ejemplo, cuando lances el palillo y éste cruza una línea anota una rayita en la casilla N y otra rayita en la casilla N'. Si, en cambio, arrojas el palillo y no cruza ninguna línea, anota una rayita en la N y no anotes nada en la N'.
Comienza a lanzar el palillo sobre la hoja. Procura hacerlo el mayor número de veces posible. Si puedes hacerlo cien veces o más, qué mejor.
Ahora vamos a hacer un pequeño cálculo. Toma la cantidad de veces que arrojaste el palillo (el número de rayitas que hay en la casilla L) y multiplícala por dos. A lo que te quedó, divídelo entre el número de cruces (el número de rayitas que hay en la casilla C). ¿Tu resultado se parece a 3.141592…?
Si no se parece, seguro que no lanzaste el palillo el número suficiente de veces. Sigue lanzando y verás que en algún momento el resultado que obtengas sí se parecerá mucho al valor de .
Igual de sorprendido quedó el Conde de Buffon hace más de doscientos años cuando descubrió que se puede obtener una muy buena aproximación de lanzando palillos sobre una hoja llena de rayas.
La fórmula para obtener una aproximación de queda entonces así:
= 2N/N'
Recuerda que:
  • N es el número de veces que lanzas el palillo (lanzamientos),
  • N' es el número de veces que el palillo cruza alguna de las líneas (cruces)
  • Cuántas más veces dejes caer el palillo sobre la hoja, más se parecerá tu resultado a .
  • Esto funciona siempre y cuando lancemos el palillo de modo realmente aleatorio. Podría sorprendernos la tendencia que tenemos a repetir, si nada nos lo impide, los mismos gestos.
El experimento se llama la Aguja de Buffon porque el Conde de Buffon utilizó una aguja cuando lo diseñó.

Justificamos el resultado

Supongamos que disponemos de una superficie rayada con líneas paralelas y una aguja de tal modo que si la aguja tiene una longitud l, la distancia d que separa a todas las paralelas es mayor que l.
Si se tira la aguja sobre la superficie puede que esta corte o no a alguna de las líneas. Consideramos como favorable aquel lanzamiento en el que la aguja efectivamente cae sobre alguna de ellas.
Pues bien: lo que demostró matemáticamente Buffon es que la probabilidad de que un lanzamiento sea favorable en este sentido es igual a 2l/dπ . Es evidente entonces que si hacemos l y d iguales la probabilidad será 2/π.
Por otra parte, si llamamos N al número de lanzamientos y N' al número de casos favorables, el cociente N'/N se aproximará a dicha probabilidad a medida que N aumente. Por lo tanto, si tiramos la aguja un número grande de veces podremos escribir:
De donde, despejando, se tiene: